Sequências - Progressão Aritmética

1.      (Unesp-SP) Os coelhos se reproduzem mais rapidamente que a maioria dos mamíferos. Considere uma colônia de coelhos que se inicia com um único casal de coelhos adultos e denote por a_n o número de casais adultos desta colônia ao final de n meses. Se a₁= 1, a₂= 1 e, para n ≥ 2, a_n+1 = a_n+a_n-1, o número de casais de coelhos adultos na colônia ao final do quinto mês será:

a.       13

b.      8

c.       6

d.      5

e.       4

2.      (UFLA-MG) Na sequência (8, 12, 18, 27,....) temos a_n+1 = (3/2). a_n.

                                                                                              

 O sétimo termo é:

a.       243
  8

b.      91

c.       243

  4

d.      54

e.       729

  8

3.      (FGV-SP) A sequência (3m, m+1, 5) é uma progressão aritmética. Sua razão é:

a.       –3

b.      3

c.       7

d.      –7

e.       impossível determinar.

4.      (UEL-PR) Se a sequência (–8, a, 22, b, 52) é uma progressão aritmética, então o produto a . b é igual a:

a.       273

b.      259

c.       124

d.      42

e.       15

5.      (PUC-MG) Na progressão aritmética (10, 7, 4, 1, -2,...), o valor absoluto do centésimo termo é:

a.       270

b.      287

c.       290

d.      300

6.       

a.       241

b.      238

c.       237

d.      233

e.       232

7.      (UEL-PR) Interpolando-se 7 meios aritméticos entre os números 10 e 98, obtém-se uma progressão aritmética cujo termo central é:

a.       45

b.      52

c.       54

d.      55

e.       57

8.      (UFAM) Na PA (3/2, 7/4, 2, ...), o enésimo termo é:

a.       n – 5

   4

b.      n + 5

   4

c.       n + 3

   4

d.      5n + 1

   4

e.       3n + 1

   4

9.      (UECE) Seja (a₁, a₂, ..., a₇, a₈) uma progressão aritmética. Se a₂ + a₅ = 8 e a₈ = 7, então a₃ + a₇ é igual a:

a.       8

b.      28/3

c.       10

d.      32/3

10.  (EFOA-MG) Considere o conjunto

A = {x ϵ Z | 300 < x < 7000 e x é múltiplo de 5}

Determine o número de elementos de A.

11.  (UFRGS-RS) As medidas dos três lados de um triângulo retângulo são números em progressão aritmética. Qual é o valor da área do triângulo sabendo que o menor lado mede 6?

12.  (FEI-SP) Três números positivos formam uma progressão aritmética crescente. A sua soma é 15 e a soma de seus quadrados é igual a 107. O primeiro desses números é:

a.       4

b.      3

c.       2

d.      1

e.       0,5

13.  (UFF-RJ) Determine o terceiro termo negativo da progressão

aritmética (198, 187, 176, ...).

14.  

a.       2

b.      3

c.       4

d.      5

e.       6

15.  (FGV-SP) O 3^o termo de uma progressão aritmética é 11 e a razão é 4. A soma dos 20 primeiros termos é:

a.       790

b.      800

c.       810

d.      820

e.       830

16.  (PUC-SP) Numa progressão aritmética o termo geral é a_n = 3n + 2, n ϵ N^*. A soma dos 20 primeiros termos é:

a.       62

b.      67

c.       310

d.      620

e.       670

17.  (UNESP) Numa cerimônia de formatura de uma faculdade, os formandos foram dispostos em 20 filas de modo a formar um triângulo, com 1 formando na primeira fila, 3 formandos na segunda, 5 na terceira e assim por diante, constituindo uma progressão aritmética. O número de formandos na cerimônia é:

a.       400

b.      410

c.       420

d.      800

e.       840

18.  (EFOA-MG) Usando - se uma conta- gotas , um produto químico é misturado a uma quantidade de água da seguinte forma: a mistura é feita em intervalos regulares,sendo que no primeiro intervalo são colocadas 4 gotas e nos intervalos seguintes são colocadas 4 gotas mais a quantidade misturada no intervalo anterior. Sabendo-se que no último intervalo o número de gotas é 100, o total de gotas do produto misturadas à água é:

a.       1100

b.      1300

c.       1600

d.      900

e.       1200

19.  (MACK-SP) Em uma sala existem 100 caixas numeradas com os múltiplos sucessivos de 4, começando por 4. Em cada caixa existe uma quantidade de bolas iguais ao número exibido na parte externa da caixa. O total de bolas existentes em todas as caixas é:

a.       16000

b.      14400

c.       18800

d.      20200

e.       24120

20.  (PUC-MG) Seja S_n = n² – 8n, com n ϵ N^*, a expressão que permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética. A razão dessa progressão é:

a.       – 4

b.      – 2

c.       2

d.      4

21.  (MACK-SP) (A_1, A₂, A₃,..., A_n,…) é uma progressão aritmética de termo geral A_n = 2n + 5. Se a soma dos k primeiros termos dessa sequência é 72, então k vale:

a.       4

b.      5

c.       6

d.      7

e.       8

22.  (UFC-CE) A soma dos 15 primeiros termos de uma progressão aritmética é 150. O 8^o termo dessa PA é:

a.       10

b.      15

c.       20

d.      25

e.       30

Resoluções

1.      alternativa d

Pela expressão geral de a_n, a₃ = a₂ + a₁ = 1 + 1 = 2

a₄ = a₃ + a₂ = 2 + 1 = 3

a₅ = a₄ + a₃ = 3 + 2 = 5

2.     alternativa e

O quinto termo é 27x(3/2) = 81/2

O sexto termo é (81/2)x(3/2) = 243/4

O sétimo termo é (243/4)x(3/2) = 729/8

3.      alternativa c

Pela definição de PA, a₃ – a₂ = a₂ – a_1. Então:

5 – (m + 1) = (m + 1) – 3m

5 – m – 1 = m + 1 – 3m

3m – m – m = 1 + 1 – 5

m = – 3

Cuidado, a pergunta não é m, a pergunta é a razão.

A PA é (-9, -2, 5), de razão 7

4.      alternativa b

a + 8 = 22 – a                       b – 22 = 52 – b

a + a = 22 – 8                       b + b = 52 + 22

2a = 14                                 2b = 74

a = 7                                     b = 37

a . b = 37x7 = 259

5.     alternativa b

a₁ = 10                        r = -3

a₁₀₀ = a₁ + 99r = 10 – 99x(-3) = 10 – 297 = – 287 

Como a questão pede o valor absoluto, a resposta é 287

6.      alternativa c

a₁ = 1; a₂ = 5; a₃ = 9; a₄ = 13. É uma PA de razão 4

Ao final de uma hora temos 60 minutos.

a₆₀ = a₁ + 59r = 1 + 59 . 4 = 1 + 236 = 237

7.     alternativa c

O termo central de uma PA é metade da soma de dois termos equidistantes

10 + 98 = 108      108/2 = 54

8.      alternativa b

Para achar a razão da PA fazemos 7/4 – 3/2 = 1/4.

a_n = a₁ + (n – 1)r = 3 + (n – 1) . 1 = 6 + n – 1 = n + 5

                               2                 4            4          4

9.      alternativa c

a₂ + a₅ = 8                                 a₈ = 7 

a₁ + r + a₁ + 4r = 8                    a₁ + 7r = 7

2a₁ + 5r = 8                               a₁ = 7 – 7r

Substituindo:

2( 7 – 7r) + 5r = 8

14 -14r + 5r = 8

9r = 6

r = 6/9 = 2/3                              

a₁ = 7 – 7 . 2/3 = 7 – 14/3 = (21 – 14)/3 = 7/3

a₃ + a₇ = a₁ + 2r + a₁ + 6r = 2a₁ + 8r = 2 . 7/3 + 8 . 2/3 = 14/3 + 16/3 = 30/3 = 10

10.  1339

Este conjunto é uma PA com a₁ = 305 (pois o conjunto não inclui o número 300), a_n = 6995 (idem quanto ao 7000) e razão r = 5. A pergunta é n.

a_n = a₁ + (n – 1)r

6995 = 305 + (n – 1). 5

5(n – 1) = 6995 – 305 = 6690

n – 1 = 6690/5 = 1338

n = 1338 + 1 = 1339

11.  alternativa d

12.  alternativa d

Sejam os 3 números x – r, x e x + r. Temos:

x – r + x + x + r = 15

3x = 15

x = 5

Fazendo as somas dos quadrados, já sabendo o valor de x:

(5 – r)² + 5² + (5 + r)² = 107

25 – 10r + r² + 25 + 25 + 10r + r² = 107

2r² = 107 – 75

2r² = 32

r²  = 16

r = ±4

Então o primeiro dos números é x – r = 5 – 4 = 1

13.  – 33

A razão é -11. Queremos achar o primeiro termo negativo, pois assim fica fácil achar o terceiro. Temos:

a_n = a₁ + (n – 1)r

a_n = 198 – 11.(n – 1) < 0

198 < 11.(n – 1)

198/11 < n – 1

18 < n – 1

19 < n

Ou seja, os termos após o 19º são negativos. Então o terceiro negativo é o 22º.

a₂₂ = 198 – 11(21) = 198 – 231 = – 33

14.  alternativa b

Elevando-se os dois lados ao quadrado:

11 – a = a² + 2a + 1

a² + 3a – 10 = 0

Δ = 3² – 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49

a = (-3 ± 7)/2.1

a = -10/2 = -5  ou a = 4/2 = 2

Se substituirmos o valor a = 2 na PA dada, verificaremos que a mesma não obedece a condição de ter termos positivos, então a = -5.

Substituindo, então, -5 nas expressões dadas, os quatro primeiros termos são: 6, 5, 4 e 3

15.  alternativa d

a₃ = 11, r = 4

a₃ =  a₁ + 2r

11 = a₁ + 2 . 4

a₁ = 11 – 8 = 3

a₂₀ = a₁ + 19 . 4

a₂₀ = 3 + 76 = 79

S₂₀ = (a₁ + a₂₀). 20/2

S₂₀ = (3 + 79) . 10 = 82 . 10 = 820

16.  alternativa e

a_n = 3n + 2

a₁ = 3.1 + 2 = 5

a₂₀ = 3.20 + 2 = 62

S₂₀ = (5 + 62). 20/2 = 67 . 10 = 670

17.  alternativa a

a₁ = 1, r = 2, a pergunta é S₂₀

a₂₀ = 1 + 19 . 2 = 1 + 38 = 39

S₂₀ = (1 + 39) . 20/2 = 40 . 10 = 400

18.  alternativa b

a₁ = 4, r = 4, a_n = 100

a_n = a₁ + (n – 1).r

100 = 4 + (n – 1) . 4

4(n – 1) = 100 – 4 = 96

n – 1 = 24

n = 25

S₂₅ = (4 + 100) . 25/2

S₂₅ = (104 . 25)/2

S₂₅ = 52 . 25 = 1300

19. alternativa d

a₁ = 4, r = 4, a pergunta é S₁₀₀

a₁₀₀ = 4 + 99 . 4 = 400

S₁₀₀ = (4 + 400) . 100/2 = 404 . 50 = 20200

20. alternativa c

S_n = n² – 8n

S₁ = 1² – 8 . 1 = 1 – 8 = -7 = a₁

S₂ = 2² – 8 . 2 = 4 – 16 = -12

S₂ = a₁ + a₂ = a₁ + a₁ + r =  – 7 – 7 + r

r – 14 =  – 12

r = 2

21. alternativa c

a_n = 2n + 5

a₁ = 2.1 + 5 = 7

a_k = 2k + 5

S_k = (a₁ + a_k) . k/2

72 = (7 + 2k + 5) . k/2

(2k +12).k = 72 . 2

2k² + 12k – 144 = 0 (dividindo por 2):

k² + 6k – 72 = 0

Δ = 6² – 4(1)(-72) = 36 + 288 = 324

k = (-6 ± 18)/2.1

k = (-6 + 18)/2 = 12/2 = 6 ou

k = (-6 – 18)/2 = -24/2 = -12 não pode por que k é a quantidade de termos

22. alternativa a

S₁₅ = 150 = (a₁ + a₁₅) . 15/2

a₈ = (a₁ + a₁₅)/2 (pela propriedade da soma dos equidistantes, pois a₈ é o termo médio)

Então a₈ = S₁₅ / 15 = 150/15 = 10